Rumus Himpunan Penyelesaian Persamaan Trigonometri

Apa itu Persamaan Trigonometri?

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang melibatkan fungsi trigonometri seperti sinus, cosinus, tangen, kotangen, sekan, dan cosekan. Persamaan ini dapat diselesaikan untuk menemukan nilai variabel yang memenuhi persamaan tersebut.

Rumus Umum

Rumus umum untuk menyelesaikan persamaan trigonometri adalah sebagai berikut:

Persamaan Sinus:

“`
sin(x) = a
“`

Solusi umum:

“`
x = nπ + (-1)^n arcsin(a), n ∈ Z
“`

Persamaan Cosinus:

“`
cos(x) = a
“`

Solusi umum:

“`
x = 2nπ ± arccos(a) + 2πk, n, k ∈ Z
“`

Persamaan Tangen:

“`
tan(x) = a
“`

Solusi umum:

“`
x = nπ + arctan(a), n ∈ Z
“`

Persamaan Kotangen:

“`
cot(x) = a
“`

Solusi umum:

“`
x = nπ + arccot(a), n ∈ Z
“`

Persamaan Sekan:

“`
sec(x) = a
“`

Solusi umum:

“`
x = 2nπ ± arcsec(a) + 2πk, n, k ∈ Z
“`

Persamaan Cosekan:

“`
csc(x) = a
“`

Solusi umum:

“`
x = 2nπ ± arccsc(a) + 2πk, n, k ∈ Z
“`

Catatan:

`n` dan `k` adalah bilangan bulat apa pun.

`arcsin(a)`, `arccos(a)`, `arctan(a)`, `arccot(a)`, `arcsec(a)`, dan `arccsc(a)` adalah fungsi invers trigonometri.

Contoh Penerapan

Berikut adalah beberapa contoh penerapan rumus himpunan penyelesaian persamaan trigonometri:

Contoh 1:

Selesaikan persamaan `sin(x) = 0.5`.

Solusi:

Berdasarkan rumus umum, solusi umum dari persamaan `sin(x) = a` adalah:

“`
x = nπ + (-1)^n arcsin(a), n ∈ Z
“`

Dalam kasus ini, `a = 0.5`, maka:

“`
x = nπ + (-1)^n arcsin(0.5), n ∈ Z
“`

Nilai `arcsin(0.5)` adalah π/6, sehingga solusi umum dari persamaan `sin(x) = 0.5` adalah:

“`
x = nπ + (-1)^n π/6, n ∈ Z
“`

Contoh 2:

Selesaikan persamaan `cos(x) = -0.8`.

Solusi:

Berdasarkan rumus umum, solusi umum dari persamaan `cos(x) = a` adalah:

“`
x = 2nπ ± arccos(a) + 2πk, n, k ∈ Z
“`

Dalam kasus ini, `a = -0.8`, maka:

“`
x = 2nπ ± arccos(-0.8) + 2πk, n, k ∈ Z
“`

Nilai `arccos(-0.8)` adalah 2.35619449, sehingga solusi umum dari persamaan `cos(x) = -0.8` adalah:

“`
x = 2nπ ± 2.35619449 + 2πk, n, k ∈ Z
“`

Informasi dan Solusi

Berikut adalah beberapa informasi dan solusi terkait dengan rumus himpunan penyelesaian persamaan trigonometri:

Persamaan trigonometri dengan sudut ganda:

Persamaan trigonometri dengan sudut ganda dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus berikut:

“`
sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
cos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x) = 2cos^2(x) – 1 = 1 – 2sin^2(x)
tan(2x) = 2tan(x) / (1 – tan^2(x))
“`

Persamaan trigonometri dengan sudut tiga kali:

Persamaan trigonometri dengan sudut tiga kali dapat diselesaikan dengan menggunakan